Числа-палиндромы

Число-палиндром — это число, которое читается одинаково в обоих направлениях. Например, 121, 1331 и 12321 являются палиндромами. Термин происходит от греческих слов «палин» (снова) и «дромос» (путь), буквально — «пройти путь заново».

Математические свойства палиндромов

Числа-палиндромы подчиняются интересным закономерностям в своём распределении:

• Все однозначные числа (1–9) являются палиндромами: всего их 9.
• Существует 9 двузначных палиндромов: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
• Существует 90 трёхзначных палиндромов: от 101 до 999 (первая цифра определяет последнюю, а средняя может быть любой: 9 × 10).
• Существует 90 четырёхзначных палиндромов: от 1001 до 9999 (первые две цифры определяют последние две: 9 × 10).
• Существует 900 пятизначных палиндромов и 900 шестизначных.

В общем случае количество палиндромов из n цифр определяется формулой: 9 × 10^{⌊(n-1)/2⌋}. Это означает, что палиндромы становятся пропорционально более редкими с ростом чисел, но их множество по-прежнему бесконечно.

Простые палиндромы

Некоторые числа-палиндромы одновременно являются простыми числами, что делает их вдвойне особенными. Единственный чётный простой палиндром — это 11 (поскольку любой другой чётный палиндром оканчивается на чётную цифру и делится на 2).

Первые простые палиндромы:

Неизвестно, существует ли бесконечное множество простых палиндромов, хотя предполагается, что да. Крупнейшие известные простые палиндромы имеют сотни тысяч цифр и находятся с помощью продвинутых вычислительных методов.

Проблема 196

Одна из самых известных нерешённых задач занимательной математики — проблема 196 (также называемая «проблемой Лишрел»). Процедура проста: возьмите число, запишите его цифры в обратном порядке и сложите оба числа. Повторяйте, пока не получите палиндром.

Большинство чисел приходят к палиндрому за несколько шагов:

Число 196 было проверено до более чем миллиарда цифр, и палиндром так и не был получен. Считается, что этого никогда не произойдёт, однако формально доказать это никому не удалось. Это одна из простейших по формулировке, но труднейших по решению открытых задач во всей математике.

Палиндромы от 1 до 500

Все числа-палиндромы от 1 до 500. Нажмите на любое из них, чтобы изучить его математические свойства: