Совершенные числа

Совершенное число — это натуральное число, равное сумме своих собственных делителей (всех делителей, кроме самого числа). Простейший пример — 6: его собственные делители — 1, 2 и 3, и действительно 1 + 2 + 3 = 6. Следующее — 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Эти числа восхищают математиков более двух тысяч лет своей красотой и симметрией.

История совершенных чисел

Совершенные числа изучались пифагорейцами в VI веке до н.э., которые приписывали им мистические значения и считали символами космической гармонии. Евклид (300 г. до н.э.) доказал, что если 2^p − 1 — простое, то 2^p−1 × (2^p − 1) — совершенное число. Два тысячелетия спустя Эйлер завершил картину, доказав, что все чётные совершенные числа имеют такую форму. Святой Августин Гиппонский писал, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 — совершенное число, и что Луна обращается вокруг Земли каждые 28 дней по той же причине.

Связь с простыми числами Мерсенна

Существует прямое соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (простыми вида 2^p − 1). Каждое простое число Мерсенна порождает ровно одно чётное совершенное число, и наоборот. Например: 2² − 1 = 3 (простое) даёт совершенное число 2¹ × 3 = 6; 2³ − 1 = 7 (простое) даёт 2² × 7 = 28; 2⁵ − 1 = 31 (простое) даёт 2⁴ × 31 = 496. Найти новое простое число Мерсенна — значит автоматически открыть новое совершенное число.

Открытые вопросы

Несмотря на более чем двухтысячелетнее изучение, великие тайны остаются нерешёнными. Существует ли бесконечно много совершенных чисел? Большинство математиков верит в это, но никто не смог это доказать. Существует ли нечётное совершенное число? Доказано, что если оно существует, то должно быть больше 10¹⁵⁰⁰ и иметь не менее 101 простого множителя (не обязательно различных), но никто не доказал, что они не могут существовать. Эти задачи остаются открытыми и представляют собой два из старейших вопросов математики.

Удивительные свойства

Чётные совершенные числа обладают любопытными свойствами. Все они оканчиваются на 6 или 8 (чередуясь нерегулярно). Все они — треугольные числа, то есть могут быть представлены в виде треугольника из точек. Сумма обратных величин делителей совершенного числа всегда равна ровно 2. Кроме того, каждое чётное совершенное число (кроме 6) является суммой последовательных нечётных кубов: 28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³.

Известные совершенные числа

На сегодняшний день известен 51 совершенное число. Первые четыре достаточно малы для исследования:

Did you know?

• Saint Augustine wrote that God created the world in 6 days because 6 is a perfect number, not the other way around. He also noted the Moon's 28-day cycle — 28 being the second perfect number.
• Every even perfect number is also a triangular number. For example, 6 = T(3) and 28 = T(7), where T(n) = n(n+1)/2.
• The sum of the reciprocals of all divisors of a perfect number always equals 2. For 6: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2. For 28: 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.
• Every even perfect number except 6 can be written as the sum of consecutive odd cubes: 28 = 1³ + 3³, 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³, 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.
• If an odd perfect number exists, it must be greater than 10¹⁵⁰⁰ and have at least 101 prime factors. After thousands of years of searching, none has ever been found.

Большие совершенные числа

Пятое совершенное число — 33 550 336, а шестое — 8 589 869 056. Далее совершенные числа растут экспоненциально. Самое большое известное, 51-е совершенное число, содержит более 49 миллионов цифр. Первые совершенные числа были найдены вручную древними греками, но для обнаружения последних потребовались суперкомпьютеры и месяцы вычислений.