Номера



Что такое число?

<Число в математике - это слово или символ, используемый для обозначения величин или сущностей, которые ведут себя как величины.

Число в математике - это слово или символ, используемый для обозначения величин или сущностей, которые ведут себя как величины.

Числа группируются в различные наборы или структуры; каждая из них содержит предыдущую, является более полной, чем она, и обладает большими возможностями в своих операциях. Они перечислены ниже.

Это математическое понятие имеет фундаментальное значение, введенное более или менее осознанно с древности, чтобы иметь возможность оперировать количествами элементов, составляющих множества, или количествами, выражающими меры материальных сущностей. Многие числовые множества могут быть введены аксиоматически вместе с соответствующими операциями, такими как алгебраические и топологические особенности. И наоборот, можно действовать конструктивно, вводя последовательно более крупные числовые множества.

Типы чисел: краткое введение

.

Натуральные числа 1, 2, 3, ... вводятся как кардинальные или порядковые, то есть как сущности, способные представлять порядок конечных множеств и порядок последовательностей (аксиомы Пеано); ноль вводится как порядок пустого множества. 

Ноль и натуральные числа образуют множество неотрицательных чисел. Отрицательные числа вводятся как инверсии положительных чисел по отношению к сложению и для того, чтобы можно было выполнять неограниченное вычитание. 

Рациональные числа вводятся для того, чтобы выполнять неограниченное деление. Расширение на алгебраические числа сделано для того, чтобы гарантировать существование нулей многочленов с целыми коэффициентами. 

Реальные числа вводятся для того, чтобы иметь возможность выполнять с минимальными ограничениями операции, переходящие к пределу. 

И наконец, вещественное поле расширяется до поля комплексных чисел, чтобы гарантировать существование n корней для каждого многочлена степени n.

- Вводятся полиномы с целыми коэффициентами, чтобы можно было выполнять операции с минимальными ограничениями на переход к пределу.

- Число Ферма: Любое число вида 22n+1, для каждого n=1,2,3, .... Было показано, что первая гипотеза автора о том, что все эти числа являются простыми, не верна.

- Совершенное число: целое положительное число, равное сумме своих положительных делителей, исключая себя. Неизвестно, существуют ли совершенные нечетные числа.

- Полигональное число: натуральное число из последовательности n0 = 1, n1 ... nr ..., где nr = nr-1 + (m-2)r +1, где m - натуральное число больше двух. Для m = 3,4,5... получаются треугольные, четырехугольные, пятиугольные числа..... Число nr - это количество точек, отмеченных на геометрической схеме, образованной треугольниками, квадратами, пятиугольниками... соответственно.

- Трансфинитное число: кардинальное число, которое не является целым.

- Трансцендентное число: число, которое не является корнем какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами

.

- Треугольное число: натуральное число последовательности n0 = 1, n1 ... nr ..., в которой nr = nr-1 + r +1, . Число nr - это количество отмеченных точек в геометрической схеме, образованной треугольниками.

- Другие числа: пара целых положительных чисел таких, что сумма положительных делителей каждого числа меньше самого себя равна другому числу.

- Пифагорейские числа: триада целых положительных чисел, таких, что квадрат одного из них равен сумме квадратов двух других. Если длины двух сторон треугольника являются целыми числами и пифагорейскими, то треугольник является прямоугольным.

Натуральные числа

Эти числа используются для подсчета элементов множеств:

N = {0, 1, 2, 2, 3,..., 9, 10, 11, 11, 12,...}

Существуют бесконечности. Их можно складывать и умножать, и при обеих операциях результатом во всех случаях будет натуральное число. Однако их не всегда можно вычесть или разделить (ни 3 - 7, ни 7 : 4 не являются натуральными числами)

Целые числа

Это натуральные числа и соответствующие им отрицания:

Z = {..., -11, -10, -9,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,...}

Помимо сложения и умножения во всех случаях, их можно вычитать, так что эта структура улучшает структуру натуральных чисел. Однако в общем случае два целых числа не могут быть разделены. Поэтому мы переходим к следующей структуре чисел.

Рациональные числа

Это числа, которые можно выразить как кумуляту двух целых чисел. Множество Q рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел. Их можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме нуля), и результатом всех этих операций между двумя рациональными числами всегда является другое рациональное число.

Настоящие числа

В отличие от натуральных и целых чисел, рациональные числа расположены не так, чтобы их можно было упорядочить по одному. То есть не существует "следующего" рационального числа, поскольку между любыми двумя рациональными числами существует бесконечно много других, так что если их изобразить на прямой, то она будет плотно ими занята: если взять отрезок прямой, то отрезок, каким бы маленьким он ни был, содержит бесконечно много рациональных чисел. Однако между этими числами, плотно расположенными на прямой, есть еще бесконечное множество точек, не занятых рациональными числами. Это и есть иррациональные числа.

Множество, образованное всеми рациональными и иррациональными числами, является множеством действительных чисел, поэтому все упомянутые до сих пор числа (натуральные, целые, рациональные, иррациональные) являются действительными. Эти числа занимают числовую прямую точка за точкой, поэтому она называется вещественной прямой.

Для действительных чисел определены те же операции, что и для рациональных (сложение, вычитание, умножение и деление, за исключением нуля).

Мнимые числа

Произведение действительного числа на само себя всегда равно 0 или положительно, поэтому уравнение x2 = -1 не имеет решения в системе действительных чисел. Если нужно придать значение x, такое, что x = Á, то это значение не может быть действительным, ни в математическом, ни в техническом смысле. Для этой цели используется новый набор чисел (отличный от набора действительных чисел) - мнимые числа. Символ i обозначает единицу мнимых чисел и эквивалентен Á. Эти числа позволяют найти, например, решение уравнения , которое можно записать в виде

x = 3 × i или x = 3i


Числа bi,b ≠ 0, называются чистыми мнимыми числами.

<Мнимое число получается при сложении действительного числа и чистого мнимого числа.

Комплексные числа

В общем виде комплексное число представляется как a+ bi, где a и b - действительные числа. Множество комплексных чисел состоит из всех действительных и всех мнимых чисел.

Комплексные числа обычно представляют в виде a+ bi.

Комплексные числа обычно изображаются на так называемой диаграмме Арганда. Действительная и мнимая части комплексного числа располагаются в виде точек на двух перпендикулярных линиях или осях. Таким образом, комплексное число представляется в виде одной точки на плоскости, известной как комплексная плоскость.

Комплексные числа обычно изображаются на диаграмме Арганда.

Комплексные числа очень полезны в теории переменного электрического тока, а также в других отраслях физики, в технике и в естественных науках.

Комплексные числа также полезны в теории переменного электрического тока, а также в других отраслях физики, в технике и в естественных науках.

Список чисел от 1 до 1000